Números Binários

Dois símbolos, e o motivo é físico

O sistema que usamos no dia a dia se chama decimal porque tem dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Não há nada de especial neles além de termos dez dedos.

O computador usa binário, com dois símbolos: 0 e 1. Cada um deles é um bit, e um conjunto de oito bits é um byte.

A escolha não foi estética, foi elétrica. Por dentro, um computador é um monte de circuitos por onde passa (ou não passa) corrente. Distinguir "tem corrente" de "não tem corrente" é trivial e resiste a ruído, variação de temperatura e componente envelhecido. Distinguir dez níveis diferentes de tensão para representar dez símbolos seria possível e péssimo: qualquer oscilação transformaria um 6 num 7, e o computador precisaria de circuitos de correção em cada ponto.

Dois estados é o mínimo que ainda carrega informação, e por isso é o mais robusto. Todo o resto (números, texto, imagem, som, este parágrafo) é construído em cima dessa decisão.

Notação posicional: você já sabe fazer isso

Pegue o número decimal 243. O que ele significa, na matemática?

243 = 2 x 10²  +  4 x 10¹  +  3 x 10⁰
    = 2 x 100  +  4 x 10   +  3 x 1
    = 200      +  40       +  3

Repare na estrutura: cada dígito é multiplicado por uma potência da base, e o expoente é a posição, contada da direita para a esquerda começando em zero. O dígito é o coeficiente, o 10 é a base, e a posição é o expoente.

A base é a única coisa que muda entre sistemas de numeração. Ela diz quantos símbolos existem por posição, e é ela que aparece na potência:

Ou seja, não existem quatro regras diferentes para aprender. Existe uma regra, com um parâmetro.

Lendo um binário: a soma das posições ligadas

Aplicando a mesma fórmula com base 2, o binário 00110101 vale:

0 x 2⁷ + 0 x 2⁶ + 1 x 2⁵ + 1 x 2⁴ + 0 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰
=   0  +   0    +  32    +  16    +   0    +   4    +   0    +   1     = 53

Como os únicos coeficientes possíveis são 0 e 1, a multiplicação some da conta: os bits em zero contribuem com nada, e os bits em um contribuem com a potência inteira. Ler um binário é somar as potências de dois das posições ligadas. Nada além disso.

Vale fixar o vocabulário, porque ele aparece o tempo todo: o bit da esquerda é o mais significativo (MSB, de most significant bit) e o da direita é o menos significativo (LSB). É a mesma ideia da centena e da unidade num número decimal: mexer no primeiro muda muito, mexer no último muda pouco.

Escrevendo em binário: dividir por 2 até acabar

O caminho de volta é um algoritmo de três linhas: divida o número por 2, guarde o resto, repita com o quociente até chegar a zero, e leia os restos de trás para frente.

def para_binario(n):
    if n == 0: return '0'
    bits = ''
    while n > 0:
        bits = str(n % 2) + bits   # o resto entra na FRENTE
        n = n // 2                 # e o número encolhe pela metade
    return bits

Duas observações que transformam a receita em entendimento.

A primeira é por que os restos saem ao contrário. Dividir por 2 é deslocar o número inteiro uma casa para a direita, e o resto é justamente o bit que cai fora nesse deslocamento. Ou seja, a primeira divisão devolve o bit menos significativo. Não é um truque de leitura, é a ordem em que a informação aparece.

A segunda é que o resto da divisão por 2 é exatamente a pergunta "este número é ímpar?". Todo número ímpar tem o bit da direita ligado, todo par tem ele desligado, e é por isso que n & 1 é a forma idiomática de testar paridade em código de baixo nível.

Bit, byte, e quanto cabe

Com k bits existem 2ᵏ combinações diferentes. Um byte tem 8 bits, então são 2⁸ = 256 combinações, e os valores vão de 0 a 255.

O 255 costuma causar confusão, e a conta explica: 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Somar todas as potências de dois até 2ⁿ⁻¹ sempre dá 2ⁿ - 1, um a menos que a próxima potência. São 256 valores porque o zero também conta.

Essa conta é o orçamento de qualquer tipo numérico:

E o salto entre as linhas é exponencial, não linear: dobrar a quantidade de bits eleva o alcance ao quadrado. É por isso que a diferença entre 32 e 64 bits importa tanto na prática, e é por isso que quase nada mais é declarado com 32 bits quando se trata de identificador, dinheiro ou tempo.

Hexadecimal: binário com outra roupa

Ninguém quer escrever 11011110101011011011111011101111 num código. Por outro lado, o valor decimal correspondente (3.735.928.559) esconde completamente quais bits estão ligados.

O hexadecimal resolve os dois problemas porque 16 é uma potência de 2. Precisamente, 16 = 2⁴, então cada dígito hexadecimal corresponde a exatamente 4 bits, sem sobra e sem depender dos vizinhos:

Converter passa a ser recortar de quatro em quatro, sem nenhuma conta: 11110011 vira 1111 0011, que vira F3. E 0xF3 é 243, o mesmo número da seção sobre notação posicional.

Com decimal essa correspondência não existe, porque 10 não é potência de 2. Um dígito decimal ocupa entre 3 e 4 bits e não se alinha com nada, então converter exige dividir. É essa a razão inteira de endereço de memória, cor, máscara de bits e dump de arquivo serem escritos em hexadecimal: não é tradição, é alinhamento.

Onde isso aparece no código do dia a dia

A pergunta justa é o que fazer com isto num trabalho em que ninguém pede para converter números na mão. Quatro coisas, todas comuns:

Daqui, o próximo passo é entender como o mesmo conjunto de bits representa números negativos, que é um problema mais interessante do que parece: existem três convenções conhecidas, duas delas têm defeito, e a vencedora usa um truque que faz o processador subtrair sem saber subtrair. Está em Binários Negativos. Depois disso, Operações Bitwise mostra o que dá para fazer manipulando esses bits diretamente, e vale ver como os mesmos bytes viram texto em Strings.

Vídeo da aula

Direto do canal da comunidade Craft & Code Club · 27:33.

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Problemas para praticar

Na ordem em que recomendamos resolver. Marque os que você já fez, fica salvo aqui.

Referências

Artigos e materiais externos para se aprofundar.